高等数学之极限

一、极限的概念(1个数列,6个函数,会表达即可)

$$1$$$$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\mathrm 当n>N\mathrm 时,\mathrm 有\left|a_n-a\right|<\varepsilon$$
$$2$$$$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\mathrm 当\left|x\right|>X\mathrm 时,\mathrm 有\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$$
$$3$$$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\mathrm 当x<-X\mathrm 时,\mathrm 有\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$$
$$4$$$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\mathrm 当x>X\mathrm 时,\mathrm 有\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$$
$$5$$$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\mathrm 当0<\left|x-x_0\right|<\delta\mathrm 时,\mathrm 有\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$$
$$6$$$$\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\mathrm 当x\in(x_0-\delta,x_0)\mathrm 时,\mathrm 有\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$$
$$7$$$$\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\mathrm 当x\in(x_0,x_0+\delta)\mathrm 时,\mathrm 有\left|f(x)-A\right|<\varepsilon$$

二、常见数列极限

  • $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1n=0$$
  • $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]a=1\;(a>0)$$
  • $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]n=1\;$$
  • $$\lim_{n\rightarrow\infty}q^n=(0,\;\;\left|q\right|<1;\begin{array}{l}1,\;\;q=1;\end{array}\mathrm{振荡},\;\;q=-1;\infty,\;\;\;\left|q\right|>1)$$

三、极限的唯一性

  • $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A$$
  • $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0+}f(x)=A$$

什么题目中用唯一性:求某点极限时,需要分左右极限,用唯一性

1、分段函数在分段点处的极限

2、初等函数在某点处的极限出现以下情况

$$e^\infty$$$$e-^\infty=0$$$$e^{+\infty}=+\infty$$
$$arc\tan\infty$$$$arc\tan\left(-\infty\right)=-\frac{\mathrm\pi}2$$$$arc\tan\left(+\infty\right)=\frac{\mathrm\pi}2$$
$$arccot\infty$$$$arccot\left(-\infty\right)=\mathrm\pi$$$$arccot\left(+\infty\right)=0$$

$$注:\sqrt{f(x^2)}:x\rightarrow0\mathrm{或者}x\rightarrow\infty\mathrm 时,\mathrm{一般也要分左右}$$

四、局部保号性

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A>0(\mathrm 或A<0),\exists\delta>0,\mathrm 当0<\left|x-x_0\right|<\delta\mathrm 时,f(x)>0(\mathrm 或f(x)<0)$$

五、海涅定理

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)=A$$

六、无穷小量

性质:无穷小量与有界函数之积仍为无穷小量

$$(1)\mathrm{具体函数出现}sin\infty,cos\infty,(-1)^\infty\mathrm 时,\mathrm{用此性质}$$

$$(2)\mathrm{抽象函数有界},\mathrm{求该函数极限或判断连续性以及可导性等},\mathrm{用此性质}$$

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THE END
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