初等数学知识总结

一、常用三角函数公式

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$$$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$$$$\sec x=\frac{1}{\cos x}$$$$\csc x=\frac{1}{\sin x}$$
$$\sin^2x+\cos^2x=1$$$$\tan^2x+1=\sec^2x$$$$\cot^2x+1=\csc^2x$$$$\sin2x=2\sin x\cos x$$
$$\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$$$$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$$$$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}2$$$$\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt2\sin\left(\alpha+\frac{\mathrm\pi}4\right)$$

二、常用代数公式

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$
$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+......+ab^{n-2}+b^{n-1})$$
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$
$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$

三、一元二次方程基础

$$ax^2+bx+c=0\;\;\;\;\triangle=b^2-4ac$$

$$\triangle>0时,x_{1.2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_1+x_2=-\frac ba,x_1\times x_2=\frac ca$$

$$\triangle=0时,x_1=x_2=-\frac c{2a}$$

$$\triangle<0时,x_{1.2}=\alpha+\beta i=\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a}(无实根)$$

四、数列

$$等差数列通项公式:a_n=a_1+(n-1)d,前n项和:S_n=\frac{(a_1+a_n)n}2$$

$$等比数列通项公式:a_n=a_1r^{n-1},前n项和:S_n=\left\{\begin{array}{l}na_1,\;r=1\\\frac{a_1(1-r^n)}{1-r},\;r\neq1\end{array}\right.$$

五、对数运算法则

$$\log_a\left(MN\right)=\log_aM+\log_aN$$$$\log_a\frac MN=\log_aM-\log_aN$$$$\log_aM^n=n\log_aM$$$$\log_a\sqrt[n]M=\frac1n\log_aM$$

六、直线方程

$$点斜式:y-y_0=k(x-x_0)$$$$斜截式:y=kx+b$$$$截距式:\frac xa+\frac yb=1$$$$一般式:ax+by+c=0$$

$$点(x_0,y_0)到直线l:ax+by+c=0的距离d=\frac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

七、常用不等式

$$\left|a\pm b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|$$$$\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq\left|a-b\right|$$
$$\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}2\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}(a,b>0)$$$$\sqrt[3]{abc}\leq\frac{a+b+c}3\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}3}(a,b,c>0)$$
$$\sin x<x<\tan x(0<x<\frac{\mathrm\pi}2)$$$$\sin x<x (x>0)$$
$$arc\tan x\leq x\leq arc\sin x(0\leq x\leq1)$$$$e^x\geq x+1(\forall x)$$
$$x-1\geq lnx(x>0)$$$$\frac1{1+x}<\ln(1+\frac1x)<\frac1x(x>0)$$
$${(a_1b_1+…+a_nb_n)}^2\leq(a_1^2+…+a_n^2)(b_1^2+…+b_n^2)$$$$\left(\int_a^bf(x)g(x)\operatorname dx\right)^2\leq\int_a^bf^2(x)\operatorname dx\int_a^bg^2(x)\operatorname dx$$

八、排列组合计算公式

$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

九、0的任意次方公式总结

1、0的0次方没有意义。

2、0的任意正数次方都是0。

3、0的任意负数次方没有意义。

【注】因为0的负数次方等于0的相应正数次方分之一(如:0的-2次方等于0的平方分之一),而0的任意正数次方都是0,所以0的负数次方会导致出现分母等于0的情况。因此,“0的任意负数次方没有意义”。

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THE END
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